Большая советская энциклопедия - изгибание

Изгибание (математическое), деформация поверхности, при которой длина каждой дуги любой линии, проведенной на этой поверхности, остается неизменной. Наглядный пример И. — свертывание листа бумаги в цилиндр или конус (при условии, что бумага нерастяжима; поэтому длина каждой дуги любой линии, проведенной на бумаге, остается неизменной). Напротив, раздувание шарика, изготовленного из тонкой резиновой пленки, представляет собой пример деформации, которая не будет И. И. поверхностей изучается в дифференциальной геометрии. Одна из теорем этой области — теорема Гаусса: при И. поверхности произведение ее главных кривизн (полная кривизна) в каждой точке остается неизменным. Из этой теоремы следует, что никакой кусок сферы при помощи И. нельзя превратить в кусок сферы другого радиуса или придать ему плоскую форму. В современной дифференциальной геометрии особенно важное место занимают исследования возможности или невозможности И. различных поверхностей. Доказано, что каждая замкнутая выпуклая поверхность (например, целая сфера, целый эллипсоид) не может изгибаться; если же из такой поверхности вырезать сколь угодно малый кусок, то оставшаяся часть будет допускать И. Доказательство получено благодаря работам немецкого математика С. Кон-Фоссена и советских математиков А. Д. Александрова и А. В. Погорелова. Исследование И. поверхности имеет важное значение для теории тонких оболочек в механике. Лит.: Кон-Фоссен С. Э., Изгибаемость поверхностей в целом, «Успехи математических наук», 1936, в. 1; Ефимов Н. В., Качественные вопросы теории деформаций поверхностей, там же, 1948, т. 3, в. 2; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1950; Погорелов А. В., Изгибание выпуклых поверхностей, М. — Л., 1951.